Come si può descrivere uno stato quantistico con semplici probabilità?

Nel 2024, in occasione dell'Anno Internazionale della Scienza e della Tecnologia Quantistica, ricercatori del Lebedev Institute e dell'UNAM hanno pubblicato un lavoro che ridefinisce il modo di parlare di stati quantistici. Invece di affidarsi solo alle funzioni d'onda, hanno mostrato che è possibile usare distribuzioni di probabilità “normali”, simili a quelle che incontriamo nella vita di tutti i giorni. Queste distribuzioni, chiamate tomografiche, catturano tutte le informazioni di un sistema quantistico, ma senza gli strani valori negativi tipici della funzione di Wigner.

Il team ha calcolato le forme tomografiche per particelle che si muovono in diversi potenziali: il caso libero, i pozzi finiti e infiniti, e persino il potenziale di Morse, usato per descrivere le vibrazioni molecolari. I risultati mostrano come la probabilità di trovare una particella con una certa posizione e impulso cambi nel tempo, ma sempre in modo coerente con la meccanica quantistica.

Un altro punto forte del lavoro è l'estensione del criterio di separabilità di Peres‑Horodecki. Questo criterio, noto per individuare l'entanglement, è stato adattato alle distribuzioni di probabilità di momento, permettendo di verificare se due sistemi asimmetrici sono realmente intrecciati o no. In pratica, si può capire se due particelle sono “legate” solo osservando le loro probabilità di moto.

Queste scoperte aprono la porta a nuove tecniche sperimentali, dove misurare probabilità classiche può sostituire procedure più complesse. Il futuro della fisica quantistica potrebbe così diventare più accessibile, anche per chi non è esperto di matematica avanzata.

La rappresentazione tomografica si basa sul concetto di trasformata di Radon, una tecnica matematica usata in tomografia medica per ricostruire immagini a partire da proiezioni. In ambito quantistico, la variabile di proiezione è una combinazione lineare di posizione \(x\) e impulso \(p\), definita come \(X_\theta = x\cos\theta + p\sin\theta\). Misurando la distribuzione di probabilità \(w(X_\theta,\theta)\) per diversi angoli \(\theta\), è possibile ricostruire la funzione di Wigner tramite un’inversa della trasformata di Radon. Questo approccio elimina la necessità di gestire valori negativi, rendendo la visualizzazione più intuitiva.

Nel caso dei pozzi di potenziale, le soluzioni esatte della Schrödinger forniscono gli autostati \(\psi_n(x)\). Applicando la trasformata di Radon a \(|\psi_n(x)|^2\) si ottengono le distribuzioni tomografiche \(w_n(X_\theta,\theta)\), che mostrano picchi più marcati per stati a bassa energia e una maggiore diffusione per stati eccitati. Per il potenziale di Morse, la dipendenza esponenziale della funzione d'onda porta a tomogrammi asimmetrici, riflettendo la natura anharmonica del sistema.

L’estensione del criterio di Peres‑Horodecki alle probabilità di momento si fonda sulla costruzione di una matrice di covarianza \(\Gamma\) dei momenti \(\langle p_i p_j \rangle\). Se la matrice parziale trasposta (PPT) di \(\Gamma\) non è positiva semidefinita, lo stato è entangled. Questo metodo è particolarmente utile per stati reali asimmetrici, dove le correlazioni di momento possono rivelare entanglement non evidente nelle distribuzioni di posizione. Inoltre, la tomografia di momento permette di verificare sperimentalmente il criterio senza ricorrere a misurazioni di spin o di polarizzazione, ampliando le possibilità di testare l’entanglement in sistemi di atomi ultrafreddi o di fotoni in guide d’onda.

Infine, la rappresentazione tomografica facilita l’interfaccia tra teoria e sperimentazione: le distribuzioni misurate direttamente in laboratorio possono essere inserite nei calcoli tomografici per ricostruire lo stato quantistico completo, fornendo un potente strumento per la diagnostica quantistica e per lo sviluppo di tecnologie quantistiche più robuste.