Come si progettano i pattern di impulso ottimali per i convertitori multilevel?

I pattern di impulso ottimali (OPP) sono una tecnica per controllare i convertitori elettrici. In pratica, si calcolano offline gli angoli e i livelli di commutazione di un segnale, così da ridurre al minimo le distorsioni armoniche della corrente di carico. Oltre a limitare le armoniche, è possibile aggiungere vincoli per ridurre le perdite del convertitore. Il problema è molto complesso: la funzione da ottimizzare è trigonometrica e coinvolge variabili sia continue che intere, rendendolo non convesso. Gli autori propongono di vedere la sintesi degli OPP come un problema di controllo ottimale di un sistema ibrido. Poi trasformano il problema in un programma conico convesso, ma di dimensione infinita, usando le misure di occupazione. Grazie a questa formulazione, è possibile calcolare dei limiti inferiori alla distorsione armonica minima risolvendo una serie di programmi semidefiniti (SDP) nella gerarchia moment-sum-of-squares. Ogni SDP cresce linearmente con il numero di transizioni di commutazione consentite e con i livelli di tensione del convertitore, rendendo il metodo scalabile e promettente per applicazioni reali.

Nel contesto dei convertitori multilevel, gli OPP rappresentano una strategia avanzata di modulazione a commutazione multipla. La formulazione originale del problema di sintesi è un'ottimizzazione non convessa con variabili miste: gli angoli di commutazione (variabili continue) e i livelli di tensione (variabili intere). Per superare questa difficoltà, gli autori ricorrono alla teoria delle misure di occupazione, che consente di descrivere il comportamento di un sistema dinamico mediante una distribuzione di probabilità sullo spazio delle traiettorie. Questa trasformazione porta a un programma conico di tipo moment, dove le variabili sono i momenti delle misure di occupazione. La gerarchia moment-sum‑of‑squares (SOS) fornisce una sequenza di rilassamenti semidefiniti sempre più stretti, garantendo convergenza al valore ottimo globale sotto condizioni di regolarità. Ogni livello della gerarchia richiede la risoluzione di un SDP la cui dimensione è proporzionale al numero di monomi di grado ≤2d, con d ordine della gerarchia. Poiché il numero di transizioni di commutazione e i livelli di tensione sono parametri discreti, la complessità dell'SDP cresce linearmente con essi, rendendo il metodo praticabile anche per convertitori con molteplici livelli. Inoltre, la struttura ibrida del sistema consente di includere vincoli di tipo "on‑off" direttamente nella formulazione, preservando la fattibilità delle soluzioni. Questo approccio apre la strada a una progettazione sistematica di OPP con garanzie teoriche di optimalità, superando le tradizionali tecniche basate su euristiche o metodi di ricerca locale.