Come si divide il rischio in una banca? Scopri la magia della Shapley!

Come si divide il rischio di un portafoglio? In finanza, il rischio non si somma semplicemente. Per capire chi è responsabile, gli esperti usano l'allocazione del rischio. Una delle tecniche più famose è la Shapley allocation, ispirata a un concetto di teoria dei giochi. Immagina di dividere una pizza tra amici: la Shapley dice quanto ogni amico ha contribuito a creare il valore della pizza.

Il paper “Sharpening Shapley Allocation” confronta diverse strategie di allocazione. Gli autori hanno creato due ambienti di prova: uno semplificato per vedere i comportamenti base, e uno realistico con portafogli veri sotto le regole di Basel 2.5 e FRTB. Hanno anche risolto due problemi difficili: quando una unità ottiene un valore di rischio negativo, e come gestire più livelli gerarchici in una banca.

I risultati mostrano che la Shapley è il miglior compromesso. È semplice da capire, ha solide proprietà matematiche e rappresenta bene il rischio reale. Inoltre, il calcolo è veloce se si usa una simulazione Monte Carlo efficiente, anche con centinaia di unità di business.

Anche se lo studio si concentra sul rischio di mercato, il metodo può essere applicato a rischio di credito, liquidità o valutazione. In pratica, la Shapley aiuta le banche a vedere chi porta davvero il rischio, migliorando la trasparenza e le decisioni.

La Shapley allocation nasce dalla teoria dei giochi cooperativi, dove il valore di una coalizione di giocatori è distribuito equamente tra i membri. In ambito finanziario, i "giocatori" sono le unità di business o i singoli asset di un portafoglio, e il valore della coalizione è la misura di rischio aggregato, tipicamente il Value‑at‑Risk (VaR) o l’Expected Shortfall (ES). La formula di Shapley calcola, per ogni unità, la media marginale del contributo al rischio su tutte le possibili permutazioni di ingresso nella coalizione. Questo garantisce proprietà desiderabili: efficienza (la somma dei contributi ricostruisce il rischio totale), simmetria (unità identiche ricevono lo stesso contributo) e nullità (un’unità che non influisce sul rischio ottiene zero).

Il paper affronta due criticità pratiche. Prima, le allocazioni negative, che emergono quando un asset riduce il rischio complessivo (ad esempio, una copertura). Gli autori propongono una ristrutturazione del valore di Shapley mediante una trasformazione monotona che mantiene l’additività ma elimina i segni negativi, preservando l’interpretazione di “quanto rischio porta”. Seconda, la gerarchia multilivello tipica delle grandi istituzioni, dove le unità sono organizzate in dipartimenti, divisioni e business line. Viene introdotto un algoritmo ricorsivo che applica la Shapley a ciascun livello, garantendo coerenza tra le allocazioni di livello inferiore e superiore.

Dal punto di vista computazionale, il calcolo esatto della Shapley è NP‑hard per grandi portafogli, poiché richiede la valutazione di n! permutazioni. Il lavoro dimostra che una simulazione Monte Carlo con campionamento stratificato riduce drasticamente il numero di scenari necessari, mantenendo errori di stima sotto il 1 % anche con migliaia di unità. L’analisi di scaling mostra una crescita quasi lineare del tempo di calcolo rispetto al numero di unità, rendendo la metodologia praticabile per le richieste di reporting sotto Basel 2.5 e FRTB. Infine, gli autori evidenziano che la Shapley è versatile: può essere estesa a misure di rischio non lineari, a scenari di stress testing e a contesti di valutazione di contratti derivati, fornendo una cornice unificata per la gestione del rischio in tutta l’organizzazione.