Come funziona la magia dei tick in Uniswap v3?

Uniswap v3 è il nuovo volto dei mercati decentralizzati: invece di una sola curva di prezzo, gli utenti possono concentrare la loro liquidità in piccoli intervalli, chiamati “tick”. Immagina i tick come caselle su una tavola da gioco: ogni volta che il prezzo attraversa una casella, la tua posizione si attiva o si disattiva.

Per capire se tutto funziona senza errori, gli scienziati hanno trasformato questo meccanismo in una macchina a stati formale. Usano due strumenti: le "automate temporizzate a prezzo" (PTA) e i "transduttori a stati finiti" (FST). Le PTA sono come robot che osservano il tempo e il prezzo, verificando che le regole di Uniswap – la costante prodotto, le commissioni e i limiti dei tick – siano sempre rispettate. Gli FST, invece, semplificano il tutto a passaggi discreti, così è più facile controllare i comportamenti con TLA+.

Un risultato chiave è l’invarianza tick‑wise: anche se le operazioni di scambio arrotondano i numeri, l’errore rimane entro un limite molto stretto, chiamato “ε‑slack”. Questo significa che il sistema è robusto: le piccole imprecisioni non rompono l’equilibrio. Gli autori hanno testato i modelli con UPPAAL e TLC, verificando che, anche in scenari con tre tick o con arbitraggio senza arrotondamenti, le regole rimangono valide.

In pratica, questi modelli forniscono una prova matematica che Uniswap v3 non si “incasina” quando il prezzo salta da un tick all’altro, rendendo la DeFi più sicura e trasparente.

Il modello proposto parte da una rappresentazione formale della pool di Uniswap v3 come rete di automi temporizzati a prezzo (PTA). Ogni automa corrisponde a un intervallo di tick e contiene variabili continue per le riserve virtuali, il prezzo corrente (expressed as sqrtPriceX96) e il feeGrowth globale. Le transizioni sono attivate da eventi di "tick crossing", cioè quando il prezzo supera il limite superiore o inferiore di un intervallo. In queste transizioni si aggiornano le variabili di feeGrowth e si applicano le regole di liquidità attiva/inattiva, mantenendo l’invarianza del prodotto costante (x·y = k) a livello discreto.

Per rendere il modello verificabile, gli autori introducono una discretizzazione dei prezzi in unità di tick, trasformando le operazioni continue in passi finiti. Il risultato è un transduttore a stati finiti (FST) che mappa sequenze di tick in sequenze di cambi di riserva, consentendo la specifica in TLA+. L’invarianza tick‑wise è dimostrata mediante induzione su ogni transizione: si parte da uno stato iniziale in cui l’invarianza è soddisfatta, si mostra che l’aggiornamento delle riserve e delle commissioni introduce un errore di arrotondamento ≤ ε, dove ε è legato alla precisione della rappresentazione a 128‑bit di sqrtPriceX96.

Il bound di arrotondamento è strettamente controllato grazie al concetto di "virtual reserves": le riserve reali sono sempre una funzione lineare delle riserve virtuali più un offset determinato dal feeGrowth. Questo offset assicura che, anche se le operazioni di swap introducono errori di troncamento, la differenza tra riserve virtuali prima e dopo la transazione rimanga entro ε.

Gli esperimenti con UPPAAL hanno verificato l’invarianza su configurazioni a tre tick, dimostrando che nessuna sequenza di swap può violare il bound. Inoltre, l’analisi in TLA+ con TLC ha confermato la proprietà di "no‑rounding‑only‑arbitrage": in assenza di commissioni, non è possibile ottenere profitto arbitrario sfruttando solo gli errori di arrotondamento. Questi risultati forniscono una base teorica solida per la sicurezza dei CLAMM, aprendo la strada a ulteriori verifiche formali di protocolli DeFi più complessi.