Come proteggere le rotazioni 3D con la privacy differenziale?

La privacy differenziale (DP) è un metodo matematico che garantisce che i dati pubblicati non rivelino informazioni sensibili. Dal 2006 è stato usato su testi, immagini e molto altro. Recentemente, la versione "metric" della DP permette di regolare la protezione in base alla distanza tra i dati, ideale per spazi più complessi. In questo studio gli autori hanno portato la DP metriche al gruppo delle rotazioni nello spazio tridimensionale, noto come SO(3). Immagina di voler condividere l’orientamento di un drone senza far capire la sua traiettoria esatta. Per farlo hanno creato due meccanismi: un “Laplace” su SO(3) e uno basato sulla distribuzione di Bingham. Il primo aggiunge rumore secondo una legge di Laplace adattata alle rotazioni, garantendo una privacy σ‑privacy rispetto alla distanza geodetica (la più breve traiettoria sulla sfera). Il secondo sfrutta la simmetria antipodale di SO(3) – ogni rotazione è indistinguibile dalla sua opposta – e ottiene una σ̃‑privacy con σ̃ = π/4. Gli esperimenti mostrano che il meccanismo di Bingham conserva più precisione nei dati utili, mentre il Laplace è più semplice da implementare. In pratica, queste tecniche aprono la porta a condividere informazioni su orientamenti, robotica o realtà virtuale senza compromettere la privacy degli utenti.

Nel contesto della privacy differenziale, la "sensibilità" di una funzione è la massima variazione del risultato quando si modifica un singolo record del dataset. Per dati su SO(3) la sensibilità è definita rispetto alla metrica geodetica, cioè la lunghezza dell'arco più breve tra due rotazioni sulla sfera tridimensionale. Il meccanismo di Laplace su SO(3) utilizza una distribuzione di rumore con densità proporzionale a exp(-σ d(g, g')), dove d è la distanza geodetica e σ è il parametro di privacy. Questa distribuzione è isotropa, cioè invariante rispetto a rotazioni, garantendo che il rumore non introduca bias direzionale. La distribuzione di Bingham, invece, è una legge di probabilità su S^3 (la sfera quaternione) caratterizzata da una matrice di concentrazione che controlla la dispersione attorno a un asse preferenziale. Trasferendo la privacy da S^3 a SO(3) si deve gestire la simmetria antipodale: ogni punto q e -q rappresentano la stessa rotazione. Il meccanismo Bingham rispetta questa simmetria scegliendo una matrice di concentrazione che è invariata sotto la trasformazione q → -q, ottenendo così σ̃‑privacy con σ̃ = π/4. Dal punto di vista pratico, la scelta tra i due meccanismi dipende dal trade‑off privacy‑utility: il Laplace è più robusto a variazioni estreme ma può degradare la precisione dei dati di orientamento, mentre il Bingham mantiene una migliore fedeltà angolare a costo di una implementazione più complessa e di una calibrazione accurata della matrice di concentrazione.